中考复习冲刺系列——纯几何压轴选解（2）

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（试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点，将线段AD绕着点A顺时针旋转30⁰得到线段AE.

（1）如图1，当点E落在BC边上时，直接写出出∠EAB的度数；

（2）如图2，当∠BAE＝45⁰时，AE交BC于点F，求证AF：AD＝CF：CD；

（3）如图3，若AB＝2+√3，连接CE，求出CE的最小值.

【图文解析】

(1)简析：如下图示，

不难得到∠BAE＝∠AED－∠B＝15⁰.

(2)当∠BAE＝45⁰时，通过计算，可得到AC平分∠DAE，如下图示：

下面用两种方法，证明所需的结论：

法一：由角平分线的性质可得：点C到AF和AD的距离相等，因此得到：S_△ACF：S_△ACD＝AF：AD，如下图示：

      另一方面，若△ACF和△ACD分别以CF和CD为底，则对应的高又相等，所以有：S_△ACF：S_△ACD＝CF：CD.

      综上，AF：AD＝CF：CD.

法二：利用“角平分线的条件下添加平行线”可得到：等腰和相关的比例，因此可以过C点作CM∥AE交AD于M，如下图示，

      由CM∥AE可得CF：CD＝AM：DM＝CM：DM，同时也可得到△CDM∽△FDA，得到CM：DM＝AF：AD，进一步得到AF：AD＝CF：CD.

      还可以：

      ……，实际上，过图中的A、C、D、F四个点作相应的平行线均可，有兴趣的朋友可以试试.

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（3）又是一道典型的“旋转相似”题（实际上几乎所有的动点问题如果涉及相关计算，多数可心转化为“旋转相似”），本公众号已有多篇（超过15篇）这方面的文章，有兴趣的朋友可以通过本文开头提供的方法输入“关键词”快速查找相应的文章.

      本题只作简单解析：

下面先找出并证E点运动路径为射线.

法一：作出第1小题的图（特殊位置），即∠BAM＝15⁰，△AMN为顶角为30⁰的等腰三角形，并连接相关线段，如下图示，

      显然△AMN∽△AED，进一步可通过“SAS”证得：△AME∽△AED，得到∠AME＝∠AND＝105⁰，又∠AMN＝75⁰，所以∠CMN＝30⁰（为定角），M点CM为定线，M点为定点，因此点E的运算是一射线（即与BC构成30⁰的角的射线ME，如下图示：

      因此，CE的长的最小值应为过C点的垂线段的长，如下图示：

      等等……

【拓展】其实本题的30⁰可以任意改为确定的角（如已知该角的三角函数值为2/3），解法均相同.同样如果点D在某一确定的直线上运动，类似解法.

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